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Le nombre d’or historique

La véritable histoire du nombre d'or ne fait que commencer.
Yvo Jacquier © Artiste peintre contemporain


Le statut du nombre d’or a évolué à la manière d’un caméléon dans l’histoire. Sa vérité est dans la géométrie que nous avons présentée. Nous abordons l’inventaire de ses identités « selon les hommes ».

I - Les noms du nombre d’or

Phidias, parrain du nombre d’or

Le symbole mathématique φ du nombre d’or rend hommage au sculpteur Phidias, représentant du premier Classicisme de la Grèce Antique. En 460 AEC, son mécène et ami Périclès lui confie les travaux de l'Acropole (notamment du Parthénon). Sa maîtrise des proportions est si exceptionnelle qu’il prend en défaut les habitants d'Athènes. Posée à même le sol, sa représentation d'Athéna parait bien maladroite, mais une fois juchée sur son socle, l’oeuvre de Phidias devint divine ! À la fin de sa vie, le parrain affectif du nombre d’or est victime de mauvais procès, et ses contemporains jaloux le forcent à l'exil, vers la ville d'Olympie.

Beaucoup plus tard au XXe siècle, dans les années 10, le critique et escrimeur britannique Theodore Andrea Cook (1867-1928) décide avec son ami mathématicien américain Mark Barr de proposer la notation φ (la lettre grecque Phi) comme symbole mathématique du nombre d’or en référence à Phidias. Le double argument de la consonance de la lettre φ avec celle de π, autant qu'avec le nom du sculpteur rendu célèbre pour sa maîtrise de la proportion dorée, est rapporté par Cook dans son livre « Les courbes de la vie »**. Il y fait le compte des formations en forme de spirale dans la nature, la science et l’art. Et il se réfère tout particulièrement aux travaux de Léonard de Vinci.
**Cook, Theodore Andrea, The Curves of Life (1914) p. 420, Courier Dover Publications

Un peu plus tard, le terme de « nombre d’or » sera fixé par le prince roumain Matyla Ghyka dans les années 30.

Les différentes appellation du nombre d’or

Voici un aperçu des vocables utilisés à son propos :

La lettre grecque Phi, représentant le nombre d'or. 1 - Nombre scandaleux car irrationnel (selon Platon)
2 - Proportion d'extrême et moyenne raison (Euclide)
3 - Proportion d'Euclide (selon Fibonacci)
4 - Section dorée (sectio aurea, selon Vinci)
5 - Divine proportion (selon Pacioli)
6 - Section d'or (der goldene Schnitt, selon Zeising)
7 - Nombre d'Or (fixé par Ghyka)
8 - Phi ( φ - expression mathématique, selon T Cook)
9 - Proportion dorée (selon l'usage courant)

En anglais : Golden ratio (Proportion dorée)
En allemand : Der goldene Schnitt (Section dorée)
En tchèque : Zlatý řez (Section d’or)

II - De l’antiquité à la Renaissance

Dans cette large période la géométrie sacrée est l’outil de composition dans les arts. Ce savoir s’est caché de l’écrit pour de sérieuses raisons.On peut citer les iconoclasmes byzantins - qui ont décimé les peintres, leur famille et leurs oeuvres. On peut également évoquer le risque de diffuser hors atelier un savoir qui réclame une longue pratique pour s’expliquer, se comprendre et se transmettre.

La Grèce Antique - Pythagore (-580, -497) et Euclide (-325, -265)

De nombreux mathématiciens grecs sont allés en Égypte étudier les mathématiques. Pythagore y fait ses classes, au sixième siècle avant notre ère, et bien plus tard Euclide (-325,-265) y enseigne les mathématiques, sous Ptolémée Ier. La ville où ce père fondateur des mathématiques modernes finit ses jours n'est autre qu'Alexandrie, lieu de fusion entre les civilisations.

Euclide est officiellement le premier à évoquer la proportion dorée dans son célèbre ouvrage « Les Éléments » (300 AEC - Proposition n° 11 du Livre II). Il parle de partage entre extrême et moyenne raison (en géométrie, raison veut dire proportion).

Les Pythagoriciens se seraient investis bien avant lui dans la construction du dodécaèdre de façon empirique, mais l’historien des sciences Thomas L. Heath attribue la paternité de la découverte à Platon (-424, -348) : « L'idée que Platon commença l'étude (du nombre d’or) comme sujet intrinsèque n'est pas sans consistance... ». À ce sujet, Platon doit beaucoup à l'influence de son précepteur, le mathématicien Théodore de Cyrène, qui montre notamment l'irrationalité de √5, donc celle du nombre d’or.

En fait au fil des siècles, les Grecs formalisent par l'arithmétique ce que les Égyptiens pratiquaient avant eux avec leur Géométrie. Dans cette conquête, ils vont se heurter au problème de l'irrationnel - dont la muraille est la notion d’incommensurable, désespoir des Pythagoriciens. Une des grandes ambitions de la science est de mesurer les choses. Les mathématiciens ont payé le prix fort.

Des erreurs de traduction et d’interprétation des textes venant des Grecs peuvent expliquer une certaine confusion autour du nombre d’or. Ceux-ci emploient deux termes pour désigner les proportions : « symmetria » et « proportio », et leur signification varie selon le domaine considéré, art ou géométrie. Peut-être est-ce la trace des deux approches du nombre, avec les yeux et avec le calcul…

Les Arabes - Al-Khawarizmi (783, 850) et Abu Kamil (850, 930)

Pour ces deux Mathématiciens, le nombre d’or n'est encore que la solution algébrique à des problèmes parmi d'autres. Une sorte de distance se manifeste entre le monde du calcul et le monde de la pratique géométrique où est né le nombre d’or.

Léonardo Pisano, dit Fibonacci (1175-1250)

Le mathématicien et commerçant Fibonacci propose une suite de nombres entiers. Il s'inspire des travaux d'Abu Kamil, dont il précise la relation avec la « proportion d'Euclide ». Pour autant, il ne perçoit pas que la limite de sa suite comme étant le nombre d’or :
0112 35813 21345589 …
Chaque nombre est la somme des deux précédents et la division d’un nombre par le précédent se rapproche de φ au fur et à mesure que la liste se développe. φ est la “limite” de la suite.

C'est Fibonacci qui impose le Zéro à l'Europe en 1202, également dans le même livre « Liber Abaci ». Il s'adresse plus particulièrement aux commerçants, pour qui cette nouvelle numération est un formidable gain de temps. Les Babyloniens auraient pratiqué le zéro au moins deux siècles avant Jésus-Christ. Puis on trouve le chiffre en Inde, à Brahmagupta, au VIIe siècle, et plus tard dans un monde arabe en pleine expansion (il nous transmettra ses chiffres). Le mathématicien Gerbert d'Aurillac assume le passage de l'an mille comme Pape, sous le nom de Sylvestre II, mais il échoue à introduire ce « cinq moins cinq ». Le zéro restera objet de suspicions au delà du XIIIe siècle, essentiellement du fait de ses origines.

Luca Pacioli (1445-1517) dit Luca di Borgo

Le célèbre Professeur et ami intime de Vinci publie à Venise, en 1509, « De Divina Proportione ». Cet ouvrage est écrit à Milan, entre 1496 et 1498, et il comporte des illustrations de Léonard de Vinci, mais les gravures finales pourraient être de la main d'Albrecht Dürer (Vinci n'était pas graveur). « De Divina Proportione » comporte une étude sur le nombre d’or, son application dans l’architecture et la peinture et une étude des polygones semi-réguliers. C'est donc le premier a aborder le nombre d’or sous tous ses aspects. Durant la même année, Luca Pacioli publie une édition en latin des « Éléments » d’Euclide.

Pacioli joue un rôle considérable à la Renaissance. C’est le passeur du savoir byzantin en Italie du nord. On le sait notamment en « traçant » ses carrés magiques.

La redécouverte de « De Architectura » de Vitruve (Ier Siècle av J-C)

En résumé, à la Renaissance, l'avancée de l'Arithmétique permet aux Architectes et aux Peintres de reconnaître ce nombre d’or, et ils sont tentés de prolonger le discours de Vitruve. Quitte à mentir un peu…

« De Architectura » (en français « au sujet de l’architecture ») est un traité d'architecture en latin de Vitruve. Écrit vers 25 AEC, il est dédié à l’empereur Auguste. C'est la source majeure de connaissance sur les méthodes et techniques des Romains pour leurs aqueducs, palais, thermes, ports, etc., mais aussi les machines, outils et instruments de mesure. On y trouve également la fameuse histoire d’Archimède et de sa baignoire. Unique texte qui nous soit parvenu de l’Antiquité sur l'Art de construire, il sert de référence à l’Architecture Occidentale depuis la Renaissance jusqu’à la fin du XIXe siècle. Selon Petri Liukkonen (2008), ce texte a profondément influencé Leon Battista Alberti (1404-72), Leonard De Vinci (1452-1519), et Michel-Ange (1475-1564). Aux dix volumes de « De Architectura » ne succèderont que ceux d'Alberti, en 1452.

Il faut souligner que Vitruve ne fait nulle part référence à Euclide et ses « Eléments ». Il présente des fractions architecturales comme 2/3 (=0.666...) et 3/5 (=0.600...) ainsi que le rapport 5/8, qui sont symboliquement liées au nombre d’or puisqu'ils reprennent un à un les éléments de la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., Fn = Fn−1+Fn−2), s’accordant ainsi au mythe.

Il faut savoir raison garder. Vitruve ne connaissait pas la suite de Fibonacci, encore moins que la limite de sa suite est φ. Ses éditeurs posthumes ont manifestement introduit ces éléments, à la Renaissance. En bon ingénieur romain, Vitruve énonce des principes réalistes et pratiques qui se passent de la dimension spirituelle des Égyptiens et des Grecs.

Johannes Kepler (1571-1630)

Le nombre d’or joue un rôle essentiel dans les travaux de Johannes Kepler, qui se soldent par la naissance de la physique moderne. Son modèle de référence agence les solides de Platon. Si Kepler n’arrive pas à le faire coller parfaitement avec la réalité c’est paradoxalement à cause d’une conception trop parfaite de la notion de modèle. Le solide manquant n’est autre que le polyèdre de Dürer !

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III - L’ère moderne et le développement d’un mythe

Adolf Zeising (1810-1876)

Pendant deux siècles, le nombre d’or connaît une sorte d’éclipse, jusqu’à ce qu’un Docteur en philosophie allemand le redécouvre. Il inaugure le terme de « section d'or » (der goldene Schnitt), pour en promouvoir l'importance esthétique, mythique et mystique dans les arts.

Matila Costiescu Ghyka (1881–1965)

Ce prince, ingénieur et diplomate roumain, s'appuie sur les travaux d'Adolf Zeising et de Gustav Theodor Fechner (physicien) pour établir ce qui deviendra le mythe du nombre d’or. C’est Ghyka d'ailleurs qui en fixe l'appellation. Cette proposition est aujourd’hui vivement combattue du fait de ses dérives ethnocentriques. Le nombre d’or se retrouve impliqué dans un processus colonialiste qui se fabrique des alibis. Néanmoins l'ouvrage « Le Nombre d'Or » reste une référence.
« Le Nombre d'Or », Matila C. Ghyka, Gallimard, 1931, renouvellé en 1959
réédité de nombreuses fois.


Une école française ?

Au début du siècle, l’historienne Elise Maillard étudie le pentagramme dans les dessins de Botticelli. Le conservateur François Avril représente aujourd'hui ce courant.

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Les artistes du XXème Siècle

Le nombre d’or entre dans le discours des artistes du XXe siècle de façon très diverse, avec cependant un point commun. Il n’est nulle part question de quadrillage, des propriétés incroyables du triangle 3-4-5, ni d’un possible rôle de la √3 dans la composition. Dans les discours théoriques, il n’est question que d’une proportion capable de se multiplier ou de se diviser. Et cela est censé produire de l’harmonie, sinon de la magie.

Ainsi les artistes de la Section d’Or (Léger, Kupka, Duchamp, Jacques Villon, etc) voient en φ la porte de l'harmonie. En 1946, Lecorbusier publie son « modulor ». Pour accorder ce violon à une seule note, la taille humaine standard est fixée à 1m 83, d’après une soi-disant observation de l'architecture traditionnelle européenne… On a pas vu de tels géants en Europe depuis le paléolithique, et en 1950 la moyenne nationale est, pour les hommes (de 20 à 29 ans) : 1m 70; et pour les femmes (de 20 à 29 ans) : 1m 61. Le plafond déjà très menaçant du Modulor tombe de 2m 26 à 2m 04 ! Enfin doit-on citer Dali, quand il exhibe un rectangle d’or dans une de ses compositions (« Demi - tasse géante volante, avec annexe inexplicable de cinq mètres de longueur ») ? Ou encore, quand il enferme le Christ dans un dodécaèdre ? Le caractère actif et viril de φ perd son fringant. Il ne suffit pas d’enfermer un motif dans un rectangle doré pour qu’il se change en or.

Curieusement, les artistes les plus discrets sont ceux qui s’en sortent le mieux. Mondrian ne fait aucun tapage à propos du nombre d’or, mais il le trouve dans ses oeuvres au terme d’une aussi rare qu’authentique abstraction. Eicher se présente avant tout comme un praticien, mais il agit en virtuose. Enfin, le compositeur Bella Bartok implique le nombre d’or dans le timing de ses compositions, face à une roue à six axes représentant l’espace de son harmonie. Celle-ci se réclame de l’hexagramme - donc de la √3. Nous sommes en pleine musique des sphères, un vaste champ s’ouvre pour l’étude.

De Roger Penrose à Dan Shechtman

Dans les années 70, Roger Penrose met au point une méthode de pavage non périodiques - qu’il fait même breveter.

Cependant, le procédé a des précédents historiques, notamment à Ispahan dès 1453 (date de la chute de Constantinople), dans la mosquée Darb-i-imam. L’on doit aux mathématiciens de Harvard Lu et Steinhardt la mise en évidence de cette pratique.


Un petit dodécaèdre étoilé apparait dans une mosaïque du sol de la basilique Saint-Marc à Venise. La céramique date du XVe siècle et elle pourrait être l’oeuvre de Paolo Uccello.

Un ouvrage établit les rapports entre les différentes époques de ce savoir :
« Dürer-Kepler-Penrose the development of pentagonal tilings »
Luck R., Mat. Sci. Eng. 294-6, année 2000, 263-7.

Plus récemment Dan Shechtman a reçu le prix Nobel de chimie 2011 pour sa théorie des quasi-cristaux. Une structure non-périodique basée sur les possibilités du pentagramme - et donc du nombre d’or.

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Compléments :

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