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Le nombre d’or mathématique

La plus ancienne construction du nombre d'or est géométrique.
Yvo Jacquier © Artiste peintre contemporain

Constructions géométriques simples

Classique

Voici la construction la plus courante de ce que l’on appelle la « proportion dorée ». La construction géométrique la plus connue du nombre d'or.
Ce rectangle a un ratio (Hauteur/Largeur) égal à φ. La moitié du carré plus la diagonale du demi carré. Total = 1/2 + √5/2 ou (1+√5)/2 = φ.


Originale

Cette autre construction est méconnue. Une construction géométrique du nombre d'or originale : avec le pentagramme.
Elle fait partie des figures du pentagramme. Les trois points sont parmi ceux d’une étoile à 10 branches.


La plus ancienne

Cette autre figure est la plus ancienne. La construction géométrique la plus ancienne du nombre d'or, par les angles.
Il suffit de couper en deux le grand angle de la diagonale d’un double carré.
Cette bissectrice trouve l’horizontale du milieu à la distance de φ, le nombre d'or.

Figure exprimant la traduction arithmétique du nombre d'or. En outre, nous avons ici à la fois une construction, une définition et une propriété. La première définition du nombre d’or fut celle des angles. Leur pratique et leur maîtrise a logiquement précédé l'exercice des proportions, qui sont un premier pas vers le calcul. Et les proportions ne permettent pas la construction directe de φ.

En revanche cette définition « avec les yeux » permet la traduction algébrique de φ comme moyenne de 1 et de √5.


La géométrie pré-euclidienne

Cette figure fait partie d’un ensemble que Thalès est allé chercher en Égypte. Les Grecs n’ont pas inventé la géométrie. Avec les mathématiciens de l’IREM, nous avons reconstitué ligne par ligne le corpus complet de la géométrie de quadrillage des Égyptiens.
LA GÉOMÉTRIE AVEC LES YEUX DES ÉGYPTIENS
Contrairement à l’idée reçue, cette « géométrie avec les yeux » n’est pas empirique; elle est totalement cohérente et se passe pratiquement du calcul.

Cette façon de penser nous est presque étrangère, pourtant elle est va survivre en marge des mathématiques elles-mêmes jusqu’à la Renaissance, dans les ateliers de peinture et d’architecture. Son déclin correspond au développement de l’imprimerie et à la naissance de a science moderne avec Kepler.

Les figures classiques du nombre d’or

Divisions et spirales

Le nombre d’or est connu pour les divisions successives de ses rectangles, à la façon des poupées russes.

Divisions successives du rectangle doré. La construction de la spirale dorée.
Le retrait d’un carré à un rectangle doré laisse un résidu qui est également un rectangle doré, division par φ du premier. On peut répéter indéfiniment l’opération jusqu’à obtenir une spirale.

Triangle d'or

Le triangle d'or et ses triangles d'argent. Le triangle doré se comporte de façon comparable au rectangle. Les proportions du Triangle d'or sont : un petit coté de valeur relative 1, pour deux grands de valeur φ. Il est aigu. Le Triangle d'Argent est formé de deux petits cotés de valeur 1 par rapport à un grand de valeur φ. Il est obtus. Sur le visuel, le grand triangle d'Or se décompose en une série décroissante de triangles d'Argent.

L'angle aigü est de 36° (π/5) et l'angle obtus est du double : 72° (2π/5). Cette figure liée au 5 symboliquement et le triangle correspond à la pointe d’un pentagramme, étoile à cinq branches.

La spirale dorée brute, avec des arcs de cercle successifs.
Le triangle d’or porte aussi une spirale, très intéressante puisqu’elle s’intègre à la figure du pentagramme.

Les sommets notés 1, 2, 3, 4 etc. sur la figure précédente permettent de tracer un arc de cercle qui se lie au suivant. Ces arcs liés par les sommets des triangles d'argent engendrent une courbe qui n'est pas tout à fait régulière du fait du changement brutal du rayon de courbure à chaque point où l'on plante le compas.


La spirale dorée corrigée, régulière. Une fois corrigée, cette courbe devient une magnifique Spirale dorée. Dans la composition des Tarots, elle prend le nom de Spirale du Coeur, pour souligner sa destination sur toutes les cartes.

La Spirale dorée du pentagramme parle de l'énergie et du temps. Le temps cyclique et solaire qui tourne en boucle, et le temps saturnien qui avance inexorablement. La courbe relie des points essentiels de la composition, ceux qui participent au mouvement et expriment la force active, suivie d'un effet. La spirale dorée montre ainsi l'énergie dans l'action, le déploiement d'un principe initial par nature masculin, face à la √3 (de l’hexagramme), qui elle est de nature féminine et organise l’espace.



Fleur du Pentagramme

Pour conclure cette série sur le nombre d’or, voici un exercice particulièrement plaisant. Cette figure s’appuie sur la géométrie du pentagramme, notamment ses cercles.

Le développement graphique du pentagramme, en forme de fleur.

Le nombre d’or et le calcul

Le calcul naît avec l’écriture. Avant, on compte et on mesure, mais on ne peut pas même concevoir le calcul. Ainsi le nombre d’or est demeuré géométrique pendant des millénaires avant de trouver sa forme algébrique et ses équations.

La particularité algébrique de φ est dans l'équation φ² = φ + 1, et la solution de cette équation est φ = (1+√5)÷2 ≈ 1,618 034… Ce Nombre est irrationnel, en cela qu'aucune division de nombres entiers ne peut l'égaler. Par contre Phi (φ) n'est pas transcendant, comme π, puisqu'il est le résultat d'une équation polynomiale (X² -X -1 = 0). Concrètement, cela veut dire que l'on peut construire Phi avec la règle et le compas. C’est précisément ce qui a occupé les Égyptiens.

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Textes parallèles :

LE NOMBRE D'OR
Introduction
Le nombre d’or, si seul
L’histoire et les mathématiques
Les trois articles

LE NOMBRE D'OR MATHÉMATIQUE
Constructions géométriques simples
La géométrie pré-euclidienne
Les figures classiques du nombre d’or
Le nombre d’or et le calcul

L'HISTOIRE DU NOMBRE D'OR
I - Les noms du nombre d’or
II - De l’antiquité à la Renaissance
III - L’ère moderne : le mythe

LE NOMBRE D'OR DANS L'ART
Un clin d'oeil à l'Égypte Antique
La cathédrale de Dol-de-Bretagne
Les canons de l’imprimerie
Le Signe de Andreï Rublev
La Vénus de Botticelli
Une leçon de maître Dürer
Le polyèdre de Dürer

Compléments :

La Géométrie avec les Yeux
Reconstitution du corpus

Les mathématiques et l'art
Conférence à l'Université Charles de Prague